انتگرال نقطه میانی

Midpoint Integration
انتگرال نقطه میانی Midpoint
معرفی

روش های نیوتن کاتس (Newton-Cotes) یکی از محبوب ترین روش های انتگرال گیری عددی می باشند. روش انتگرال گیری نقطه ی میانی (Midpoint) یکی از روش های نیوتن کاتس است با فرض ثابت بودن تابع چندجمله ای انتگرال گیری است.

طبق قاعده ی نقطه میانی، در بازه ی delim{[}{a,b}{]} انتگرال تابع f(x) به شکل مساحت یک مستطیل به طول بازه ی انتگرال گیری و عرض مقدار نقطه ی میانی محاسبه می گردد:

int{a}{b}{f(x)dx}=(b-a){{f({a+b}/2)}}

با تقسیم بازه ی انتگرال گیری delim{[}{a,b}{]} به زیربازه های کوچکتر دقت انتگرال عددی افزایش می یابد. با فرض اینکه زیر بازه ها دارای طول مساوی h={b-a}/n است، که در آن n تعداد تقسیمات بازه است که باید عددی زوج باشد، مقدار انتگرال تابع با استفاده از رابطه ی زیر قابل محاسبه است:

int{a}{b}{f(x)dx}={2h}{sum{j=0}{n/2}{~}f(x_{2j})}

به این رابطه انتگرال مرکب (Composite) و یا کابرد چندگانه (multiple-application) نقطه ی میانی می گویند.

    برنامه نویسی با MATLAB

    در اینجا با استفاده از نرم افزار متلب (MATLAB) برنامه ای جهت محاسبه انتگرال تابع به روش نقطه ی میانی ارائه گردیده است. دو کد برای این منظور در یک فایل فشرده ارائه گردیده است:

    1. کد صریح (explicit) که در خروجی روند حل کامل مسئله را نمایش می دهد

    2. کد غیرصریح (معمولی) که تنها پاسخ نهایی را نمایش می دهد

    لازم به ذکر است که برنامه های ارائه شده قادر به حل تمامی مثال های قابل حل با این روش عددی و دریافت هر تعداد تقسیمات انتگرال گیری مورد نظر کاربران گرامی بوده و به صورت کاملا عمومی (general) کدنویسی شده اند.

    ورودی ها و خروجی ها

    ورودی:

    1. تابع (f(x ورودی جهت انتگرال گیری
    2. دامنه ی پایینی انتگرال گیری a
    3. دامنه ی بالایی انتگرال گیری b
    4. تعداد تقسیمات انتگرال n

    خروجی:

    1. حل کامل مسئله به صورت صریح
    2. مقدار نهایی پاسخ انتگرال

    تصاویر اجرای برنامه

    مشاهده ی ورودی و خروجی برنامه در یک مثال نمونه

    مشاهده ی ورودی و خروجی برنامه ی غیر صریح در یک مثال

    این برنامه با نسخه های متلب/MATLAB سال های 2010-2013 تست شده است. در صورت استفاده از نسخه ی سال های دیگر لایبریکا تضمین کننده ی اجرای صحیح برنامه نمی باشد.