انتگرال گاوس لژاندر

Gauss-Legendre Quadrature Integration
انتگرال گاوس لژاندر
معرفی

تربیع گاوس لژاندر یک روش انتگرال گیری عددی است که همچنین با نام های تربیع گاوسی یا تربیع لژاندر نیز شناخته می شود. در روش لژاندر-گاوس از نقاط یا گره هایی با فاصله ی نامساوی در طول بازه ی انتگرال گیری استفاده می گردد. گره های x1,x2,...,xn در بازه ی delim{[}{a,b}{]} و ضرایب وزنی c1,c2,...,cn به نحوی انتخاب می شوند که خطای مورد انتظار به حداقل مقدار خود برسد:

int{a}{b}{f(x)dx} ~ approx ~ sum{i=0}{n-1}{c_i f(x_i)}

به منظور حداقل کردن خطای مورد انتظار، فرض می کنیم بهترین مقدار برای این ضرایب و گره ها، مقادیری است که در صورت انتگرال گیری از یک تابع چندجمله ای با درجه ی مشخص، مقدار دقیق انتگرال آن تابع را ارائه بدهد. توابع تقریب چندجمله ای می توانند درجه دو، سه و … باشند. این چندجمله ای ها بسته به درجه از تعداد مختلفی از نقاط تابع انتگرال گیری شونده عبور می نمایند. تعداد این نقاط برابر با درجه ی تابع تقریب چند جمله ای است.

به طور کلی انتگرال تابع f(x) به روش گاوس لژاندر به صورت زیر قابل محاسبه است:

int{a}{b}{f(x)dx} ~ approx ~ {b-a}/2 sum{j=0}{n-1}{c_{j} f({(b-a)x_{j}+b+a}/2)}

مقادیر ضرایب وزنی و گره ها برای انتگرال گاوس لژاندر 2 نقطه ای تا 6 نقطه ای در جدول زیر نمایش داده شده اند:

جدول ضرایب انتگرال گاوس لژاندر

    برنامه نویسی با MATLAB

    در اینجا با استفاده از نرم افزار متلب (MATLAB) برنامه ای جهت محاسبه انتگرال تابع به روش گاوس لژاندر ارائه گردیده است. دو کد برای این منظور در یک فایل فشرده ارائه گردیده است:

    1. کد صریح (explicit) که در خروجی روند حل کامل مسئله را نمایش می دهد

    2. کد غیرصریح (معمولی) که تنها پاسخ نهایی را نمایش می دهد

    لازم به ذکر است که برنامه های ارائه شده قادر به حل تمامی مثال های قابل حل با روش انتگرال گیری گاوس لژاندر و دریافت هر تعداد تقسیمات انتگرال گیری مورد نظر کاربران گرامی بوده و به صورت کاملا عمومی (general) کدنویسی شده اند.

    ورودی ها و خروجی ها

    ورودی:

    1. تابع (f(x ورودی جهت انتگرال گیری
    2. دامنه ی پایینی انتگرال گیری a
    3. دامنه ی بالایی انتگرال گیری b
    4. تعداد نقاط انتگرال گیری n که می تواند 2، 3، 4، 5 و یا 6 باشد

    خروجی:

    1. حل کامل مسئله به صورت صریح
    2. نمایش جدول ضرایب و نقاط تقسیم بازه انتگرال گوس لژاندر
    3. مقدار نهایی پاسخ انتگرال

    تصاویر اجرای برنامه

    مشاهده ی ورودی و خروجی برنامه در یک مثال نمونه

    مشاهده ی ورودی و خروجی برنامه ی غیر صریح در یک مثال

    این برنامه با نسخه های متلب/MATLAB سال های 2010-2013 تست شده است. در صورت استفاده از نسخه ی سال های دیگر لایبریکا تضمین کننده ی اجرای صحیح برنامه نمی باشد.