روش اویلر بهبود یافته

Modified Euler Method
روش اویلر در حل معادلات دیفرانسیل مقدار اولیه
معرفی

روش اویلر اصلاح شده (Modified Euler Method) یکی از روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی به شکل

dy/dx = f(x,y)

است. در این روش مشتق اول تقریبی مستقیم از شیب تابع در نقطه ی x_i ارائه می دهد:

first point slope~=~f(x_i,y_i)

که f(x_i,y_i) تابع سمت راست تساوی معادله ی دیفرانسیل است که با x_i,y_i مقدارگذاری شده است. اکنون با داشتن مقدار اولیه ی تابع y_0، به کمک رابطه ی اویلر اصلاح شده می توان مقدار تابع را در گام های بعد محاسبه نمود:

y_{i+1}=y_i+{h/2}delim{[}{f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_i + hf(x_i,y_i))}{]}

در تصویر زیر می توانید اثر استفاده از فرمول اصلاح شده ی اویلر را در یک مثال حل شده مشاهده کنید:

مثال حل شده با روش اویلر اصلاح شده

    برنامه نویسی با MATLAB

    در اینجا با استفاده از نرم افزار متلب (MATLAB) برنامه ای جهت حل معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول به روش اویلر بهبودیافته (یا اولربهبودیافته ) ارائه گردیده است. کدی برای این منظور نوشته شده است که با دریافت معادله ی دیفرانسیل و شرایط حل مسئله در خروجی خود پاسخ حاصل از حل معادله دیفرانسیل در تمامی نقاط را ارائه می دهد.

    لازم به ذکر است که برنامه ی ارائه شده قادر به حل تمامی مثال های قابل حل با روش اویلر بهبودیافته بوده و به صورت کاملا عمومی (general) کدنویسی شده است.

    ورودی ها و خروجی ها

    ورودی:

    1. تابع (f(x,y ورودی
    2. نقطه ی ابتدایی بازه ی حل
    3. نقطه ی انتهایی بازه ی حل
    4. مقدار اولیه ی تابع y در نقطه ی ابتدایی بازه
    5. تعداد گام های حل n

    خروجی:

    1. محاسبه و نمایش طول گام حل h
    2. نمایش جدول مقادیر تابع حاصل از حل به روش اولر
    3. رسم نمودار حاصل از حل

    تصاویر اجرای برنامه

    مشاهده ی ورودی و خروجی برنامه در یک مثال نمونه

    نمودار خروجی رسم شده برای مثال نمونه

    این برنامه با نسخه های متلب/MATLAB سال های 2010-2013 تست شده است. در صورت استفاده از نسخه ی سال های دیگر لایبریکا تضمین کننده ی اجرای صحیح برنامه نمی باشد.