روش اویلر

Euler’s Method
روش اویلر در حل معادلات دیفرانسیل مقدار اولیه
معرفی

روش اویلر (Euler’s Method) یکی از روش های عددی ساده و موثر در حل معادلات دیفرانسیل معمولی به شکل زیر است:

dy/dx = f(x,y)

در این روش مشتق اول تقریبی مستقیم از شیب تابع در نقطه ی x_i ارائه می دهد:

phi=f(x_i,y_i)

که f(x_i,y_i) معادله ی دیفرانسیل است که با x_i,y_i مقدارگذاری شده است. با استفاده از این تقریب می توان مقدار تابع را به صورت زیر محاسبه نمود:

y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i)

این رابطه روش اولر و یا اولر-کوشی نام دارد. با استفاده از این روش مقدار جدیدی از y به کمک شیب منحنی و با گام h به صورت خطی برونیابی می شود. در این روش که یک روش مقدار اولیه است به اولین مقدار y_0 که پاسخ مسئله در ابتدای بازه است جهت محاسبه ی پاسخ در گام های بعد نیاز داریم.

    برنامه نویسی با MATLAB

    در اینجا با استفاده از نرم افزار متلب (MATLAB) برنامه ای جهت حل معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول به روش اویلر (یا اولر) ارائه گردیده است. کدی برای این منظور نوشته شده است که با دریافت معادله ی دیفرانسیل و شرایط حل مسئله در خروجی خود پاسخ حاصل از حل معادله دیفرانسیل در تمامی نقاط را ارائه می دهد.

    لازم به ذکر است که برنامه ی ارائه شده قادر به حل تمامی مثال های قابل حل با روش اویلربوده و به صورت کاملا عمومی (general) کدنویسی شده است.

    ورودی ها و خروجی ها

    ورودی:

    1. تابع (f(x,y ورودی
    2. نقطه ی ابتدایی بازه ی حل
    3. نقطه ی انتهایی بازه ی حل
    4. مقدار اولیه ی تابع y در نقطه ی ابتدایی بازه
    5. تعداد گام های حل n

    خروجی:

    1. محاسبه و نمایش طول گام حل h
    2. نمایش جدول مقادیر تابع حاصل از حل به روش اولر
    3. رسم نمودار حاصل از حل

    تصاویر اجرای برنامه

    مشاهده ی ورودی و خروجی برنامه در یک مثال نمونه

    نمودار خروجی رسم شده برای مثال نمونه

    این برنامه با نسخه های متلب/MATLAB سال های 2010-2013 تست شده است. در صورت استفاده از نسخه ی سال های دیگر لایبریکا تضمین کننده ی اجرای صحیح برنامه نمی باشد.