روش نقطه میانی

Midpoint Method
روش اویلر در حل معادلات دیفرانسیل مقدار اولیه
معرفی

روش نقطه میانی (Midpoint Method) یکی از فرمول های رانگ-کوتا برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی به شکل

dy/dx = f(x,y)

است. در این روش با داشتن مقدار اولیه ی تابع و محاسبه ی h به عنوان طول گام حل مسئله، با استفاده از رابطه ی زیر می توان مقدار تابع را در گام های بعد محاسبه نمود:

y_{i+1}=y_i+{h}delim{[}{f(x_{i}+{h/2},y_i + {h/2}f(x_i,y_i))}{]}

که f(x_i,y_i) مقدار تابع سمت راست تساوی معادله ی دیفرانسیل است که با x_i,y_i مقدارگذاری شده است.

    برنامه نویسی با MATLAB

    در اینجا با استفاده از نرم افزار متلب (MATLAB) برنامه ای جهت حل معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول به روش نقطه میانی (یا میدپوینت) ارائه گردیده است. کدی برای این منظور نوشته شده است که با دریافت معادله ی دیفرانسیل و شرایط حل مسئله در خروجی خود پاسخ حاصل از حل معادله دیفرانسیل در تمامی نقاط را ارائه می دهد.

    لازم به ذکر است که برنامه ی ارائه شده قادر به حل تمامی مثال های قابل حل با روش نقطه میانی (یا میدپوینت) بوده و به صورت کاملا عمومی (general) کدنویسی شده است.

    ورودی ها و خروجی ها

    ورودی:

    1. تابع (f(x,y ورودی
    2. نقطه ی ابتدایی بازه ی حل
    3. نقطه ی انتهایی بازه ی حل
    4. مقدار اولیه ی تابع y در نقطه ی ابتدایی بازه
    5. تعداد گام های حل n

    خروجی:

    1. محاسبه و نمایش طول گام حل h
    2. نمایش جدول مقادیر تابع حاصل از حل به روش اولر
    3. رسم نمودار حاصل از حل

    تصاویر اجرای برنامه

    مشاهده ی ورودی و خروجی برنامه در یک مثال نمونه

    نمودار خروجی رسم شده برای مثال نمونه

    این برنامه با نسخه های متلب/MATLAB سال های 2010-2013 تست شده است. در صورت استفاده از نسخه ی سال های دیگر لایبریکا تضمین کننده ی اجرای صحیح برنامه نمی باشد.